革象新书卷五

也凡已乘之数除则复元已除之数乘则复元今求眼绳斜长之数当用句股求?之术其术曰句自乘名句幂股自乘名股幂两幂相并为?幂开为平方即得其?凡以丈尺求者宜改为寸数以算之今以后表所测大句十丈准为大句一千寸其一千寸共乗得一百万寸名曰句幂大股数同名为股幂相并得二百万寸名为?幂开为平方得后大?乃一千四百一十四寸有竒是后表之眼绳长一十四丈一尺四寸有余也以前表求前?者仿之后?之幂二百万寸而开方譬似方砖二百万片砌于方台之上东西南北纵横数之皆广一千四百一十四片尚有方砖六百四片若欲用尽无余则碎之而砌作大方余数此术以塔心喻戴日之下以塔顶喻日之髙以灯影喻日景喻月景亦然众星无景则人以目就地望而准之测得三辰之髙则可知日月不附着于天而悬虚运转若五纬较逺于经星则是五纬亦悬虚而不附着设或五纬与经星之髙逺相齐则是五纬如磨蚁而右旋矣塔之为物髙数不多两表相距三丈亦可以测若夫三辰之髙必须两表相距数百里否则不觉其景差里之为数长三百步每步之长伸手一度也浙尺约六淮尺约五世间路里迢遥难取径直既然地上量之不直岂能推其三辰髙逺是以古人测表景千里一寸之差犹未亲切姑以其术言之然古者制表未精今别定表之制度并述元有算法就地中各去南北数百里仍不偏于东西俱立一表约髙四丈于表首之下数寸许作一方窍所以低数寸者恐其表首景淡也所以方其窍者葢小窍有景不随空罅之象必随日月之形可以测日月之周径也其窍外广而内狭当中薄如连邉两旁如侧置漏底之盌形圆而窍方所以然者葢日光斜射之际恐其窍枵相妨也窍空之大小当于地上试景而定之直立其表而后试稍有偏斜则不可准若试而光淡者窍差小也景不圆者窍差大也须得酌中为佳若表末细而不可开大窍者以木接之以薄板接之尤妙葢为作侧盌之状也自表根量至空窍下际其寸数名曰表髙两表制度须同不可差异少许同日测表景于正午之时自表根量地至于空窍下际之景其寸数名曰表景以南北表景之数相减余名景差两表相距路里变作寸数名曰表间各乗南北表景各如景差而一即得二表各与戴日之地相距寸数名曰平逺南北各以表景加之所得各以表髙乘之各如表景而一即得日轮顶与戴日地相距寸数名曰日髙乘表间如景差而一却加表髙亦得日髙也若求日轮底之髙者量表髙则至空窍上际量表景亦至空窍上际之景算法竝不殊若将日轮顶底之两髙数相减则知日圆之径以南北表景各加平逺所得自乗名句幂日髙自乗名股幂两幂相并名?幂开为平方名曰日逺乃南北表窍之景距日斜逺也然南北各有两数葢日轮顶底各距表窍上下之景际其相逺寸数可于南北各作两次求之凡测早晚者仿此太隂亦然若谓表髙难直者当并树两表构横木以为髙架横木之中钉一方环如前表窍之制须当穏实不揺曵却悬一壮绳以代木表系于悬虚之中坠石去地寸许令其急而不缓则直可准矣若测众星者量表则至于窍心望亦须在窍心也此句股之法以横测逺以树测髙乃测髙逺也若测广逺者则以绳引于地而为句股句与股皆横测之若测深逺者髙立表木横构二平木于表前以横测逺以树测?此句股则又有横树之分矣夫测三辰之髙逺者必须逺量两表之间然难于地平直步要当节节测望地平之逺数却通并以为表间是又不可不知也

    乾象周髀

    日之圆径一度以算术求其周围计三度一十四分一十六秒月之周径比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算术求其中径计一百一十六度二十六分五十一秒径当周中似乎圆扇夹脊平分两旁即是南北二极相距之直数折半计五十八度一十三分二十五秒有奇乃是六合各距天中之均数天体圆如弹丸东西南北相距皆然凡相距平分之数皆圆中之径也古人谓圆径一尺周围三尺方广一尺边旁四尺圆象天而天数三方象地而地数四数分隂阳自然有理后世考究则不然方广一尺而边旁四尺无可言者若言圆径一尺而周围三尺则三尺尚有余围三尺而中径一尺则一尺为不足葢围三尺径一尺是六角之田也或谓圆径一尺周围三尺一寸四分【案此刘徽所推】或谓圆径七尺周围二十二尺【案此祖冲之所推约率】或谓圆径一百一十三周围三百五十五【案此祖冲之所推密率】径一尺而周三尺一寸四分犹自径多围少径七尺而周二十二尺却是径少周多径一百一十三而周围三百五十五最为精密今求日周天径是此法也既论其异同亦当言其考究之术画为百眼棊盘一眼广一寸横十寸名句在于东西相距方图之内画为圆图是去其方之四角也圆径十寸与外方之股数相同圆径名髀圆之髀比方之股其数同而字义不异但有方圆之别就圆图之内又画小方图其小方四角不指外方之四角而斜抵东西南北之四正葢其外大方四角在于乾坤艮巽其内小四角在于坎离震兊小方四角斜?一十寸尚是圆中之髀为数不殊于外方之股以外方而比内方包容之积相半外方积一百寸内方积五十寸何以知其然葢将外方均作四隅而视之一半归于内一半出于外由是察之圆中之直髀即内方之斜?内方既用为?圆中难以名股句股与?名不可紊故称为髀以别之内方之?十寸自乗得一百寸名?幂凡?幂必兼得句股两幂之数今图方而纵横相同当以?幂均为句股两幂各得五十寸而开方即知句股皆七寸有余考究圆围本起于此考究之术将薄纸剪圆而临于棊枰之上不须于纸上画为方眼但景映以为准则然后于此薄纸之上模下之小方以算术展为圆象充满所定之圆围自四角之方添为八角曲圆为第一次若第二次则求其为曲十六若第三次则求其为曲三十二若第四次则求其为曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次则求其为曲一万六千三百八十四其初之小方渐加渐展渐满渐实角数愈多而其为方者不复方而变为圆矣故自一二次求之以至一十二次可谓极其精密若节节求之虽至千万次其数终不穷须当逐节作为大小句大小股大小句幂大小股幂小?小?幂大?大?幂但大?与大?幂不于节次作之毕竟止用本数而已今先以第一次言之内方之?十寸名大?自乗淂一百寸名大?幂内方之句幂五十寸名第一次大句幂以第一次大句幂减其大?幂余五十寸名第一次大股幂开方得七寸七厘一毫有竒名第一次大股以第一次大股减其大?余二寸九分二厘八毫有奇名第一较以此较折半得一寸四分六厘四毫有竒名第一次小句此小句之数乃是内方之四邉与圎围最相逺防也以第一次小句自乗得二寸一分四厘四毫有竒名第一次小句幂以第一次大句幂折半得二十五寸又折半得一十二寸五分名第一次小股幂以第一次小股幂并第一次小句幂得一十四寸六分四厘四毫有奇名第一次小?幂以第一次小?幂开方得三寸八分二厘六毫有竒名第一次小?即是八曲之一八乗其第一次小?得三十寸六分一厘有奇是即八曲之周围也此以小数求之不若改为大数所以然者盖求至十二次数之降者渐小愈小则不便于数名当将大?改为一千寸大?幂改为一百万寸第一次大句幂改为五十万寸大股亦如之然后依法而求若求至第二次者以第一次小?幂就名第二次大句幂以第一次大股幂减其大?幂余为第二次大股幂开方为第二次大股以减其大?余为第二较折半名二次小句此小句之数即是八曲之边与圎围最相逺防也以第二次小句自乗名第二次小句幂以第二次大句幂两折名第二次小股幂以第二次小股幂并第二次小句幂名第二次小?幂以第二次小?幂开方为第二次小?即是十六曲之一以十六乗其第二小?即是十六曲之周围也以第二次仿第一次若至十二次亦递次相仿而已置第十二次之小?以第十二次之曲数一万六千三百八十四乗之得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇即是千寸径之周围也置此周围之数降呼作三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽有奇以一百一十三乗之果得三百五十五尺故言其法精密要之方为数之始圆为数之终圆始于方方终于圆周髀之术无出于此矣